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几何数列是指相邻两项之间的比值是常数的数列。要从一项到下一项，你需要乘以公比。
通项公式：\( u_n = ar^{n-1} \)
其中：a 是首项，r 是公比，n 是项数
递增数列：当 \( r > 1 \) 时，数列是递增的
递减数列：当 \( 0 < r < 1 \) 时，数列是递减的
常数数列：当 \( r = 1 \) 时，数列是常数数列
交替数列：当 \( r < 0 \) 时，数列是交替的（正负交替）
收敛数列：当 \( |r| < 1 \) 时，数列收敛到某个值
题目：求下列几何数列的第10项和第 n 项：
a) 3, 6, 12, 24, ...
解答：
对于这个数列 \( a = 3 \) 且 \( r = \frac{6}{3} = 2 \)
i) 第10项 \( = 3 \times 2^9 = 3 \times 512 = 1536 \)
ii) 第 n 项 \( = 3 \times 2^{n-1} \)
题目：求下列几何数列的第10项和第 n 项：
b) 40, -20, 10, -5, ...
解答：
对于这个数列 \( a = 40 \) 且 \( r = -\frac{20}{40} = -\frac{1}{2} \)
i) 第10项 \( = 40 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^9 = -\frac{5}{64} \)
ii) 第 n 项 \( = 40 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
题目：几何数列的第2项是4，第4项是8。给定公比为正数，求数列第11项的精确值。
解答：
\( ar = 4 \) ... (1)
\( ar^3 = 8 \) ... (2)
方程(2)除以方程(1)：\( r^2 = 2 \)
\( r = \sqrt{2} \)
代入方程(1)：\( a = 2\sqrt{2} \)
第11项 \( = (2\sqrt{2})(\sqrt{2})^{10} = 64\sqrt{2} \)
下列哪些是几何数列？对于是几何数列的，给出公比 r 的值。
a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
b) 2, 5, 8, 11, 14, ...
c) 2, 6, 18, 54, 162, ...
d) 10, 5, 2.5, 1.25, ...
a) 是几何数列，\( r = 2 \)
b) 不是几何数列（等差数列）
c) 是几何数列，\( r = 3 \)
d) 是几何数列，\( r = 0.5 \)
求下列几何数列的第6项和第 n 项：
a) 2, 6, 18, 54, ...
b) 100, 50, 25, 12.5, ...
c) 1, -2, 4, -8, ...
a) \( r = 3 \), 第6项 = 486, \( u_n = 2 \times 3^{n-1} \)
b) \( r = 0.5 \), 第6项 = 3.125, \( u_n = 100 \times 0.5^{n-1} \)
c) \( r = -2 \), 第6项 = 32, \( u_n = (-2)^{n-1} \)
几何数列的第6项是32，第3项是4。求首项和公比。
\( u_6 = ar^5 = 32 \) ... (1)
\( u_3 = ar^2 = 4 \) ... (2)
(1) ÷ (2): \( r^3 = 8 \)
\( r = 2 \)
代入(2): \( a = 1 \)
所以首项 \( a = 1 \)，公比 \( r = 2 \)
几何数列有公比，相邻两项比值同
通项公式要记牢，首项乘公比的n减一次方
公比大于一递增，公比小于一递减
公比绝对值小于一，数列收敛有极限
公比为负交替列，正负相间要记清